Треугольник со сторонами 13 см 14 см 15 см вращается вокруг средней стороны. Чему равен объем полученного тела вращения?

Обозначим вершины данного треугольника А, В и С. Пусть АВ=15 см, ВС=14 см, АС=13 см.

Тело вращения, полученное вращением треугольника АВС вокруг средней стороны ВС, состоит из двух конусов с общим основанием, радиус этого основания r равен высоте АD, проведенной к стороне вращения ВС, образующие конусов - стороны треугольника АВ и ВС, высоты конусов - отрезки ВD и СD.

Таким образом, искомый объем тела равен сумме объемов двух конусов.

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

V=V1+V2=πr^2*BD/3+πr^2*CD/3 = (πr^2/3) * (BD+CD) = BC*πr^2/3=BC*π*AD^2/3.

По формуле Герона найдем площадь треугольника АВС. Она равна корню из произведения полупериметра треугольника p и разностей полупериметра и каждой из его сторон: S=√p * (p-a) * (p-b) * (p-c).

p = (13+14+15) / 2=42/2=21 см.

S=√21 * (21-13) * (21-14) * (21-15) = 84 см2.

С другой стороны, площадь треугольника АВС равна половине произведения высоты AD на сторону ВС: S=AD*BC/2. Отсюда AD=2*S/BC=2*84/14=12 см.

Найдем искомый объем тела вращения: V=BC*π*AD^2/3 = (π*14*12^2) / 3=672π≈2111,15 см3.