В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6 см и длинной бокового ребра √50 см найти косинус угла наклона бокового ребра к плоскости осноавния и площадь боковой поверхности

Правильная четырехугольная пирамида - многогранник, в основании которого лежит квадрат, а боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани, проведенная из вершины к основанию, является также и медианой, значит делит основание пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - боковое ребро, равное √50 см, катеты - высота боковой грани и половина стороны основания, равная 6/2=3 см. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, отсюда можем найти высоту боковой грани:

h^2 = (√50) ^2-3^2=50-9=41;

h=√41 см.

Площадь боковой грани равна половине произведения высоты и стороны основания: Sбок. гр.=0,5*√41*6=3√41 см2.

Боковых граней в данной пирамиде четыре, значит площадь боковой поверхности:

Sбок=4*Sбок. гр.=4*3√41=12√41 ≈ 76,84 см2.

Сечение пирамиды, проведенное через два противоположных боковых ребра, представляет собой равнобедренный треугольник с основанием, равным диагонали основания пирамиды. Высота данного сечения, проведенная из вершины пирамиды к основанию, является также и медианой, и делит основание сечения пополам.

Т. к. основание пирамиды - квадрат, то d^2=a^2+a^2, где а - сторона основания пирамиды, d - диагональ основания пирамиды.

d^2=a^2+a^2=6^2+6^2=36+36=36*2;

d=√36*2=6√2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - боковое ребро, катеты - высота пирамиды и половина диагонали основания пирамиды.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе - косинус угла.

Значит, искомый косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен отношению половины диагонали основания пирамиды к длине бокового ребра: cosα = (d/2) / √50=3√2/√50=3√2/√25*2=3/√25=3/5=0,6.