Существует ли выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 165 градусам?

По условию каждый угол выпуклого многоугольника равен 165°, значит, данный многоугольник - правильный, тогда все его стороны равны.

Градусная мера угла правильного многоугольника находится по формуле:

α = (n - 2) / n * 180°,

где α - угол правильного многоугольника, n - количество сторон правильного многоугольника.

По условию α = 165°, следовательно:

(n - 2) / n * 180° = 165°;

(180° * n - 180° * 2) / n = 165°;

(180° * n - 360°) / n = 165°;

180° * n - 360° = 165° * n (по пропорции);

180° * n - 165° * n = 360°;

15° * n = 360°;

n = 360°/15°;

n = 24.

Ответ: выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 165°, существует, количество его сторон равно 24.