В треугольнике АВС биссектрисы ВD и АЕ внутренних углов B и A пересекаются в точке О. Вычислите длину стороны АС, если АВ = 12, АО: ОЕ = 3 : 2 и АD : DС = 6:7.

Решать задачу будем, опираясь на свойство биссектрисы угла о том, что она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.

Записываем отношение сторон в треугольнике АВС:

AB/BC = AD / DC = 6/7, 12/BC = 6/7, → BC = 12 * 7 / 6 = 14.

Записываем отношение сторон в треугольнике АВЕ:

АВ/ВЕ = АО/ОЕ = 3/2, 12/ВЕ = 3/2, → ВЕ = 12 * 2 / 3 = 8.

ЕС = ВС - ВЕ = 14 - 8 = 6.

Записываем отношение сторон в треугольнике АВС:

АВ/АС = ВЕ/ЕС = 8/6, 12/АС = 8/6, → АС = 12 * 6 / 8 = 9.

Ответ: сторона АС равна 9.