В равнобедренной трапеции ABCD диагональ перпендикулярна боковой стороне трапеции. Найдите площадь трапеции, если большое основание равно 12 см, а один из углов трапеции 120 градусов.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны.

∟ABC = ∟DCB = 120°,

∟BAC = ∟CDA = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABD ∟ADB = 90° - 60° = 30°,

АВ = AD/2 = 6 см (катет, лежащий напротив угла в 30°).

CD = AB = 6 см

∟CDB = ∟CDA - ∟ADB = 60° - 30° = 30°

∟CBD = ∟ADB = 30° (накрест лежащие углы)

Тогда треугольник BCD равнобедренный

BC = CD = 6 см

Проведем высоту ВН.

Из прямоугольного треугольника АВН:

ВН = АВ · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см

Площадь abcd = (AD + BC) / 2 · BH = (12 + 6) / 2 · 3√3 = 9 · 3√3 = 27√3 см^2