Площадь прямоугольного треугольника равна 882√3. Один из острых углов равен 60 градусов. Найдите длину гипотенузы.

Введем обозначения: a, b - катеты данного треугольника, c - его гипотенуза.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = 0,5 * a * b = 882√3;

a * b = 2 * 882√3 = 1764√3.

Отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла прямоугольного треугольника. Зная, что один из углов равен 60°, можем записать:

a / b = tg 60° = √3.

Таким образом, имеем систему уравнений:

1) a * b = 1764√3;

2) a / b = √3.

Во втором уравнении выразим а через b и подставим полученное значение в первое уравнение:

a = b * √3;

a * b = b * √3 * b = b²√3 = 1764√3;

b² = 1764;

b = √1764 = 42;

a = 42√3.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b² = (42√3) ² + 42² = 1764 * 3 + 1764 = 1764 * 4;

c = √1764 * √4 = 42 * 2 = 84 - длина гипотенузы данного треугольника.