Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Какие значения может принимать площадь этого треугольника?

Пусть прямоугольный треугольник АВС имеет такие параметры: гипотенуза АВ = 12 см, катеты АС = b и ВС = а, площадь S (Δ АВС) = S, причём S = а ∙ b/2. Тогда b = 2 ∙ S/а. По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС², получаем 12² = b² + а² или 12² = (2 ∙ S/а) ² + а². Упростив, получили биквадратное уравнение относительно а: (а²) ² - 12² а² + 4 ∙ S² = 0; оценим его дискриминант; D = (12²) ² - 4 ∙ 4 ∙ S²; D ≥ 0; (12²) ² - 4 ∙ 4 ∙ S² ≥ 0; (12²) ² ≥ 4 ∙ 4 ∙ S²; 1296 ≥ S²; 36 ≥ S. Ответ: площадь треугольника не превышает 36 см².