в треугольнике АВС сторона б=3 см, сторона с = 4 см, угол А=135 градусов найти остальные элементы треугольника используя теорему синусов и косинусов

Чтобы найти сторону а воспользуемся теоремой косинусов. В виде формулы данная теорема записывается так:

a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA

a^2=3^2+4^2-2*3*4*cos135=9+16-24 * (-cos45) = 25+24 * (корень из (2)) / 2=25+12*корень из (2)

а=корень из (25+12*корень из (2))

Теперь используем теорему синусов для нахождения углов В и С.

a/sinA=b/sinB

(корень из (25+12*корень из (2))) / sin135=3/sinB

(корень из (25+12*корень из (2))) * 2 / (корень из 2) = 3/sinB

sinB=3 * (корень из 2) / (корень из (25+12*корень из 2)) * 2=3 / ((корень из (25+12*корень из 2)) * (корень из 2)) = 3 / (корень из (50+24*корень из 2))

Значит, угол В = arcsin (3 / (корень из (50+24*корень из 2)))

Так как в треугольнике сумма углов равна 180 градусов, то угол С=180 - угол А - угол В = 180 - 135 - arcsin (3 / (корень из (50+24*корень из 2))) = 45 - arcsin (3 / (корень из (50+24*корень из 2)))

Ответ: а=корень из (25+12*корень из (2)), угол В = arcsin (3 / (корень из (50+24*корень из 2))), угол С = 45 - arcsin (3 / (корень из (50+24*корень из 2)))