Прямоугольный треугольник АВС (С=90°) описан около окружности с центром в точке О. Гипотенуза АВ делится точкой касания D на отрезки АD=3 и DВ=10. Найдите длину окружности.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведённых из одной точки.

Радиус вписанной окружности обозначаем r. Запишем, чему равны стороны данного прямоугольного треугольника.

Катет АС = r + 10;

Катет BC = r + 3;

Гипотенуза АВ = 10 + 3 = 13.

Записываем теорему Пифагора для треугольника АВС:

AB² = AC² + BC²

13² = (r + 10) ² + (r + 3) ²

r² + 20r + 100 + r² + 6r + 9 - 169 = 0

2r² + 26r - 60 = 0

r² + 13r - 30 = 0

По теореме Виета корни уравнении:

r1 = 2, r2 = - 15.

Отрицательный корень не подходит, радиус окружности 2.

Длина окружности 4π.

Ответ: длина окружности 4π.