Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 4 см и 6 см, а его диагональ составляет с плоскостью основания угол 60*. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Введем обозначения: a и b - стороны основания данного прямоугольного параллелепипеда, d - диагональ основания, D - диагональ параллелепипеда, h - его высота.

В основании прямоугольного параллелепипеда лежит прямоугольник, его площадь определим как произведение сторон:

S_осн = a * b = 4 * 6 = 24 см².

Диагональ основания d найдем по теореме Пифагора:

d² = a² + b² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52;

d = √52 = 2√13 см.

Диагональ параллелепипеда D, диагональ основания d и боковое ребро, равное высоте h, образуют прямоугольный треугольник.

По условию, угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 60°.

Отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла, значит:

h / d = tg 60°;

h = d * tg 60° = 2√13 * √3 = 2√39 см.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению высоты на периметр основания:

S_бок = Р_осн * h = 2 * (4 + 6) * 2√39 = 40√39 см².

Площадь полной поверхности равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований:

S_полн = S_бок + 2 * S_осн = 40√39 + 2 * 24 = 40√39 + 48 ≈ 297,8 см².