Найдите высоту равностороннего треугольника если радиус окружности вписанной в этот треугольник равен 8 см

Пусть дан равносторонний треугольник АВС, с высотой АН и сторонами а. В него вписана окружность с центром в точке О и радиусом R. Найдем высоту треугольника.

Высота АН равностороннего треугольника, она же медиана и биссектриса. А значит по свойству медианы ВН=НС=ВС/2=а/2, по свойству высоты
Рассмотрим треугольник АНС, он прямоугольный
Найдем катет АН треугольника по теореме Пифагора:

АН=√ (АС²-НС²) = √ (а²+а²/4).

Радиус окружности вписанной в треугольник:

R=√ ((p-AC) (p-CB) (p-AB) / p).

Найдем полу периметр:

p = (1/2) (AC+CB+AB) = (1/2) (а+а+а) = 3 а/2 см.

Подсчитаем радиус:

R=√ ((p-AC) (p-CB) (p-AB) / p=√ ((3 а/2-а) (3 а/2-а) (3 а/2-а) / (3 а/2)) = а/√12 см.

Выразим из этого выражения а:

а=R√12.

Подставим в выражение для определения высоты:

АН=√ (а²+а²/4) = √ ((R√12) ² + (R√12/2) ²) = √ (9*R²) = √ (9*64) = 24 см.

Ответ: АН = 24 см.