Хорда cd длиной 8 см перпендикулярна диаметру ab и делит радиус ob пополам. найдите периметр треугольника cad

Хорда CD и диаметр AB пересекаются в точке H.

1. Так как AB - диаметр окружности, то ∠ACB и ∠ADB равны 90°, так как опираются на дугу, равную 180°.

2. Поведем радиус OC и OD, тогда четырехугольник DOCB - ромб, а OB и CD - диагонали ромба, так как пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит:

OH = BH = OB/2;

CH = DH = CD/2 = 8/2 = 4 см.

3. Рассмотрим △OCB: OC = OB, CH = 4 см - высота. Так как OH = BH, то CH - медиана. Таким образом, CH - и высота, и медиана, тогда OC = BC. Так как OC = OB = BC, то △OCB - правильный.

Так как △OCB - правильный, то ∠BOC = ∠OCB = ∠CBO = 60°.

4. Найдем градусную меру ∠ACH:

∠ACH = ∠ACB - ∠OCB/2;

∠ACH = 90° - 60°/2;

∠ACH = 90° - 30°;

∠ACH = 60°.

Найдем градусную меру ∠ADH:

∠ADH = ∠ADB - ∠ODB/2;

∠ADH = 90° - 60°/2;

∠ADH = 90° - 30°;

∠ADH = 60°.

5. Рассмотрим △DAC: ∠ACH = ∠ADH = 60°. По теореме о сумме углов треугольника:

∠ACH + ∠ADH + ∠DAC = 180°;

60° + 60° + ∠DAC = 180°;

∠DAC = 180° - 120°;

∠DAC = 60°.

∠DAC = ∠ACH = ∠ADH = 60°, следовательно, △DAC - правильный: AD = AC = CD = 8 см.

6. Периметр △CAD равен:

P = 3a,

где a - длина стороны правильного треугольника.

P = 3*8 = 24 (см).

Ответ: P = 24 см.