В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90 градусов) проведена высота CD. Гипотенуза AB равна 12 см, угол CBA=30 градусов. Найдите BD.

1. Рассмотрим треугольник АВС. АВС - прямоугольный треугольник, угол С = 90 градусов - прямой, угол СВА (В) = 30 градусов, АВ = 12 см - гипотенуза.

В треугольнике АВС найдем, используя теорему Пифагора, катет ВС. Для этого сначала нужно найти катет АС. Катет АС равен АВ/2, так как АС лежит против угла в 30 градусов, а из свойств прямоугольного треугольника известно, что против угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы:

АС = АВ/2 = 12/2 = 6 (см).

Найдем катет ВС:

ВС = √ (АВ^2 - АС^2) = √ (12^2 - 6^2) = √ (144-36) = √108 (см).

2. Рассмотрим треугольник BCD. BCD - прямоугольный треугольник (CD - высота, поэтому образует с АВ прямой угол). В прямоугольном треугольнике BCD угол BDC = 90 градусов, угол DBC = 30 градусов по условию, ВС = √108 см - гипотенуза, так как лежит против прямого угла BDC.

Нам нужно найти катет BD.

Для начала найдем катет DC. DC лежит против угла в 30 градусов, поэтому равен половине гипотенузы:

DC = ВС/2 = √108/2 (см).

Теперь по теореме Пифагора найдем катет BD:

BD = √ (BC^2 - DC^2) = √ ((√108) ^2 - (√108/2) ^2) = √ (108 - 108/4) = √ (108 - 27) = √81 = 9 (см).

Ответ: BD = 9 см.