Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 1:2. Найдите отношение проекций катетов на гипотенузу.

Пусть в прямоугольном ∆ АВС:

∠ B = π / 2;

∠ С + ∠ А = π / 2;

Так как:

∠ С / ∠ А = 2;

то:

∠ С = 2 * ∠ А;

и

∠ С + ∠ А = 3 * ∠ А = π / 2;

∠ А = π / 6;

∠ С = 2 * ∠ А = π / 3;

Пусть BD - высота треугольника АВС. Тогда:

|BD| = |AB| * sin (∠ А) = |BC| * sin (∠ С);

|AB| = |BC| * sin (π / 3) / sin (π / 6);

|AB| = |BC| * √3/2 / (1/2) = |BC| * √3;

В задаче необходимо найти (|AD| / |DB|):

|AD| / |DB| = (|AB| * cos (∠ А)) / (|BC| * cos (∠ С));

|AD| / |DB| = (|BC| * √3 * √3 / 2) / (|BC| * (1 / 2)) = 3;

Ответ: 3