В прямоугольной системе координат на плоскости задан параллелграмм ABCD, косинус угла А=0,4. Определите длину диагонали ВD параллелограмма, если скалярные произведения векторов АВ (6; -8) и АD равно 96.

Question

Тихон Фомин

Геометрия

7 июля, 16:25

В прямоугольной системе координат на плоскости задан параллелграмм ABCD, косинус угла А=0,4. Определите длину диагонали ВD параллелограмма, если скалярные произведения векторов АВ (6; -8) и АD равно 96.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

София Винокурова · Answer 1

Точки заданы координатами: А (Ax; Ay), B (Bx; By).

Тогда вектор АВ = {Bx - Аx; Bу - Ау} = {6; - 8}.

Вычислим длину вектора АВ.

Проведем высоту ВН из точки В до AD.

Пусть Ax = 0; Ay = 0.

Тогда Bx = 6, Bу = - 8.

|AH| = 6.

|HB| = 8.

Треугольник АВН прямоугольный, значит

|АВ| = (|AH|^2 + |HB|^2) ^ (1/2) = √100 = 10.

По условию |АВ| * |АD| * cosA = 96.

|АD| = 96 / (|АВ| * cosA) = 96 / (10 * 0.4) = 24.

По теореме косинусов сторона BD треугольника ABD равна:

BD^2 = |АВ|^2 + |АD|^2 - 2 * |АВ| * |АD| * cosA = |АВ|^2 + |АD|^2 - 2 * 96 = 100 + 576 - 192 = 484.

BD = 22.