Даны точки А (0; 0), B (2; 2), C (5; -1). Найдите скалярное произведение вектора АС и СВ. Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный.

Для нахождения координат вектора необходимо от координат точки конца этого вектора, отнять координаты начала:

AC = (5 - 0; - 1 - 0) = (5; - 1);

CB = (2 - 5; 2 + 1) = (-3; 3);

Скалярным произведением векторов называют сумму произведений их одноименных координат:

AC * CB = x1 * x2 + y1 * y2 = 5 * (-3) - 1 * 3 = - 18;

Для доказательства того, что треугольник прямоугольный надо найти длины всех его сторон и доказать теорему Пифагора. Формула для нахождения длины отрезка:

d² = (x2 - x1) ² + (y2 - y1) ²;

AB² = (2 - 0) ² + (2 - 0) ²;

AB = √8;

BC² = (5 - 2) ² + (-1 - 2) ²;

BC = √18;

CA² = (0 - 5) ² + (0 - (-1)) ²;

CA = √26;

Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

CA² = AB² + BC²;

26 = 8 + 18;

26 = 26;

Что и требовалось доказать.