1. В окружность вписан треугольник АВС, сторона которого АС совпадает с диаметром. Из т. В к АС проведен перпендикуляр ВК, причем АК=4, а КС=16. Найти: ВК, АВ, ВС, АС.

Вписанный угол В треугольника АВС опирается на дугу АС = 180°, значит сам угол В равен АС / 2 = 90° т. е. угол В - прямой, а треугольник АВС - прямоугольный.

Опустим высоту ВК. По свойству высоты прямоугольного (!) треугольника, опущенной на гипотенузу имеем: ВК² = AK * CK, отсюда ВК = √ (4*16), ВК = 8.

По теореме Пифагора найдем АВ: АВ² = BK² + AK², AB = √ (64+16) = 4√5.

Тем же образом найдем ВС: BC² = BK² + KC², BC = √ (256+64) = 8√5.

AC найдем по условию задачи: АС = АК + СК = 4 + 16 = 20.