Найдите площадь треугольника, если его стороны относятся как 7:15:20, а радиус описанной окружности равен 25.

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда стороны треугольника равны а = 7 х, b = 15 х, с = 20 х.

Радиус описанной окружности находится по формуле:

R = abc / 4S,

где S - площадь треугольника, вписанного в окружность.

Площадь треугольника найдем по формуле Герона:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

где р - полупериметр.

р = (а + b + с) / 2;

р = (7 х + 15 х + 20 х) / 2 = 42 х / 2 = 21 х.

S = √21 х (21 х - 7 х) (21 х - 15 х) (21 х - 20 х) = √ (21 х*14 х*6 х*х) = √ (1764 х^4) = 42x^2.

Тогда:

25 = (7 х*15 х*20 х) / 4 * 42x^2;

25 = 2100 х^3 / 168x^2;

25 = 25 х^3 / 2 х^2;

25 = 25 х / 2;

25 х = 25*2 (по пропорции);

25 х = 50;

х = 50/25;

х = 2.

Таким образом:

S = 42x^2 = 42 * 2^2 = 42 * 4 = 168.

Ответ: S = 168.