Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 49 корень из 2 см^2. Найдите ребро и диагональ куба.

Введем обозначения: а - сторона куба, d - диагональ грани куба, D - диагональ куба.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного двумя соседними ребрами куба и диагональю его грани:

d² = a² + a² = 2a²;

d = a√2.

Из прямоугольного треугольника, в котором ребро куба и диагональ его грани - катеты, диагональ куба - гипотенуза:

D² = d² + a²;

D² = 2a² + a² = 3a²;

D = a√3.

Сечение куба, проведенное через два его противолежащих ребра, представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру куба, вторая - диагональ грани.

Площадь этого сечения равна произведению двух соседних сторон, т. е.: S = a * d.

Поскольку d = a√2, то S = a * a√2 = a²√2.

Отсюда, a² = S / √2, по условию S = 49√2, значит a² = 49√2 / √2 = 49, a = √49 = 7.

Следовательно, искомое ребро куба равно 7 см, а диагональ куба D = a√3 = 7√3 ≈ 12,12 см.