Треугольники ACD и ABD-равнобедренные с общим основанием AD. Докажите, что треугольникABC=DBC, если точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD

Дано:

равнобедренный треугольник ACD,

равнобедренный треугольник ABD,

общее основание AD,

точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD.

Доказать, что треугольник ABC = треугольнику DBC.

Доказательство:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ACD. У него стороны при основании равны, то есть АС = СD.

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник AВD. У него стороны при основании равны, то есть АВ = ВD.

3. Рассмотрим треугольник АВС и треугольник DBC. У них АС = СD и АВ = ВD, сторона СВ - общая. По трем сторонам треугольник ABC = треугольнику DBC. Что и требовалось доказать.

Возьмем прямую (a) и отложим на ней отрезок АD. Прямая (а) разбивает плоскость на две полуплоскости. Возьмем далее две точки B и C так, чтобы они лежали в разных полуплоскостях. Соединим В с точкой А и точкой D. Точку C также соединим с А и D. Получим два треугольника - ACD и ABD, которые принадлежат разным полуплоскостям, и которые по условию задачи являются равнобедренными.

Проведем отрезок BC, и рассмотрим образовавшиеся ∆ABC и ∆DBC. В задаче требуется доказать, что ∆ABC = ∆DBC.

Свойства равнобедренных треугольников

Пусть точка К - середина отрезка АD. Поскольку треугольники ACD и ABD - равнобедренные, то:

боковые стороны АB и BD в ∆ABD и АC и CD в ∆ACD попарно равны; отрезок BK является одновременно высотой и медианой в ∆ABC, BK ⊥ АD; отрезок СK является одновременно высотой и медианой в ∆DBC, СK ⊥ АD; отрезок BC перпендикулярен АD и пересекает его в посередине, в точке К.

Заметим, что четырехугольник ABDC является дельтоидом, т. к. у него четыре попарно равные смежные сторон:

|АB| = |BD|;

|АC| = |CD|;

Одним из свойств дельтоида является перпендикулярность его диагоналей:

BC ⊥ АD;

Равенство треугольников ABC и DBC

Одним из признаков равенства треугольников является равенство его сторон. Действительно, стороны ∆ABC и ∆DBC попарно равны, а именно:

|АB| = |BD|;

|АC| = |CD|;

по условию задачи, и сторона BC является общей, т. к. угол между KB и KC равен 180°.

Равенство сторон треугольников ABC и DBC означает равенство самих треугольников, ∆ABC = ∆DBC, что и требовалось доказать.