В треугольнике АВС, CD-биссектриса. Доказать, что CD^2 (в квадрате) = АС*СВ-АD*DB.

Обозначим ВС = а, АС = b, DB = x, AD = y.

По свойству биссектрис x/y = a/b.

Или, x * b = a * y (1).

Пусть угол ВСD = ACD = α.

Тогда по теореме косинусов стороны x и y запишем в виде:

x^2 = a^2 + DC^2 - 2 * a * DC * cosα.

y^2 = b^2 + DC^2 - 2 * b * DC * cosα.

Выразим cosα в обоих уравнениях и приравняем левые части.

Cosα = (a^2 + DC^2 - x^2) / (2 * a * DC).

Cosα = (b^2 + DC^2 - y^2) / (2 * b * DC).

(a^2 + DC^2 - x^2) / (2 * a * DC) = (b^2 + DC^2 - y^2) / (2 * b * DC).

(a^2 + DC^2 - x^2) / a = (b^2 + DC^2 - y^2) / b.

b * a^2 + b * DC^2 - b * x^2 = a * b^2 + a * DC^2 - a * y^2

DC^2 * (b - a) = b * a * (b - a) + (b * x^2 - a * y^2).

Используя (1), перепишем выражение в скобках.

b * x^2 - a * y^2 = (b * x) * x - (a * y) * y =

= a * y * x - b * x * y = y * x * (a - b).

Тогда,

DC^2 * (b - a) = b * a * (b - a) + y * x * (a - b) =

= b * a * (b - a) - y * x * (b - a).

DC^2 = b * a - y * x.

DC^2 = AC * BC - AD * DB.