Центр вписанной в остроугольный равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношение 5:3. Найдите радиус описанной окружности, если высота, проведенная к основанию равна 32 см

Обозначим данный по условию равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, ВН - высота, точка О центр вписанной окружности.

По условию ВО/ОН = 5/3, вся высота 32 см, одна часть 32/8 = 4.

ВО = 20 см;

ОН = 12 см - радиус вписанной окружности.

К стороне ВС проведём радиус ОР = OH.

В прямоугольном треугольнике ВРО находим катет ВР:

ВР = √ (BO² - OP²) = √ (400 - 144) = √256 = 16 (см).

Треугольники ВНС и ВРО - подобные (острый угол В - общий).

Коэффициент подобия равен:

ВН/ВР = 32/16 = 2;

ВС = 2 * ВО = 40 (см);

НС = 2 * ОР = 24 (см).

Высота ВН является медианой в треугольнике АВС, значит,

АС = 2 * НС = 48 (см).

Находим площадь треугольника АВС:

S _ABC = 1/2 * AC * BH = 768 (см²).

Радиус описанной окружности находим по формуле:

R = a * b * c / 4S = 40 * 40 * 48 / 4 * 768 = 25 (см).

Ответ: 25 см.