В равнобедренной трапеции abcd ad=10, bc=6, угол abd=90 градусов. найдите площадь трапеции

Дана трапеция ABCD: AB = CD, AD = 10, BC = 6, ∠ABD = 90° (таким образом, BD - диагональ).

1. Длина диагонали равнобедренной трапеции находится по формуле:

d = √ (a * b + c²),

где a и b - длины оснований трапеции, c - длина боковой стороны.

Подставим известные значения в формулу:

BD = √ (AD * BC + AB²);

BD = √ (10 * 6 + AB²);

BD = √ (60 + AB²).

2. Рассмотрим прямоугольный △ABD: AD = 10 - гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла), AB и BD - катеты.

По теореме Пифагора:

BD = √ (AD² - AB²);

BD = √ (10² - AB²);

BD = √ (100 - AB²).

3. Получили систему уравнений с двумя неизвестными:

BD = √ (60 + AB²);

BD = √ (100 - AB²).

Приравняем правые части уравнений:

√ (60 + AB²) = √ (100 - AB²).

Возведем обе части полученного уравнения с одной переменной в квадрат:

(√ (60 + AB²)) ² = (√ (100 - AB²)) ²;

60 + AB² = 100 - AB²;

AB² + AB² = 100 - 60;

2 * AB² = 40;

AB² = 40/2;

AB² = 20;

AB = √20;

AB = 2√5.

4. Площадь равнобедренной трапеции равна:

S = (p - c) * √ ((p - a) * (p - b)),

где p - полупериметр.

Полупериметр равнобедренной трапеции равен:

p = (a + b + 2 * c) / 2.

Полупериметр ABCD равен:

p = (AD + BC + 2 * AB) / 2 = (10 + 6 + 2 * 2√5) / 2 = (16 + 4√5) / 2 = 8 + 2√5.

Площадь ABCD равна:

S = (8 + 2√5 - 2√5) * √ ((8 + 2√5 - 10) * (8 + 2√5 - 6)) = 8 * √ ((2√5 - 2) * (2√5 + 2)) = 8 * √ ((2√5) ² - 2²) = 8 * √ (20 - 4) = 8 * √16 = 8 * 4 = 32.

Ответ: S = 32.