Правильная треугольная пирамида вписана в конус, образующая, которого равна 10 и имеет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти объем пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором образующая конуса - это гипотенуза, высота конуса и радиус основания - катеты. Радиус основания расположен напротив угла в 30° и равен половине гипотенузы - 5.

По теореме Пифагора находим высоту:

Н = √ (10² - 5²) = √75 = 5√3.

Находим объём конуса по формуле:

V _конуса = H/3 * π * r² = 5√3/3 * 25 * π = 125π/√3.

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, воспользуемся отношением объёмов этих тел:

V _{впис. пирамиды} / V _конуса = 3√3 / 4π;

V _{впис. пирамиды} = 125π/√3 * 3√3 / 4π = 93,75.

Ответ: объём пирамиды равен 93,75.