Как соотносятся площади сфер, вписанной в куб и описанной около этого же куба?

Диаметр описанной около куба сферы равен диагонали куба, диаметр вписанной в куб сферы равен длине ребра куба.

Площадь сферы определяется по формуле: S = 4πR² = πD².

Пусть ребро куба равно а, тогда диаметр вписанной сферы d = a, а ее площадь:

S₁ = πd² = πa².

Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений:

D² = a² + a² + a² = 3a²;

D = a√3.

Площадь описанной около данного куба сферы:

S₂ = πD² = π * (a√3) ² = 3πa².

Можем найти отношение площадей описанной и вписанной в куб сфер:

S₂ / S₁ = 3πa² / πa² = 3.

Следовательно, площадь описанной около куба сферы в три раза больше площади сферы, вписанной в этот же куб.