Основания равнобедренной трапеции равны 1 и 6. Найдите периметр трапеции, если косинус ее острого угла равен 5/7.

ABCD - трапеция, AB = CD, AD = 6, BC = 1, cosA = cosC = 5/7.

1. Из вершины В проведем высоты ВН к основанию AD. Точка Н делит основание AD на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований (DH), а второй - полуразности оснований (АН).

Рассмотрим треугольника АНВ: АВ - гипотенуза, АН = (AD - BC) / 2 = (6 - 1) / 2 = 5/2 = 2,5.

2. Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, тогда:

cosA = АН/АВ.

Подставим известные данные:

2,5/АВ = 5/7;

АВ = 2,5*7 / 5 (по пропорции);

АВ = 17,5/5;

АВ = 3,5.

Так как АВ = CD, то CD = 3,5.

3. Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон:

Р = АВ + ВС + CD + AD;

Р = 3,5 + 1 + 3,5 + 6 = 14.

Ответ: Р = 14.