Докажите что каждая точка бисектрисы не развернутого угла равноудалена от его сторон

Решение.

Пусть дан не развернутый угол ABC, в котором проведена биссектриса ВК (∠КВА = ∠КВС). Точка К - произвольная точка биссектрисы, из которой опустим на стороны угла перпендикуляры КР ⊥ ВС и КМ ⊥ ВА. Рассмотрим образовавшиеся прямоугольные треугольники КМВ и КРВ (∠КМВ = 90° и ∠КРВ = 90°), в которых:

1) сторона ВК - общая;

2) ∠КВА = ∠КВС - по условию.

Получается, что ∆ КМВ = ∆ КРВ по 3-му признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), тогда их катеты тоже будут равны КМ = КР. А это и есть расстояние от точки К биссектрисы до сторон угла ВА и ВС. Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка биссектрисы не развернутого угла равноудалена от его сторон. Что и требовалось доказать.