Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и B; б) каждая точка, равноудаленная от точек А и B, лежит на прямой а.

Давайте разбираться с данной задачей.

Дано:

АО=ОВ

∠АОD=∠BOD=90°

Доказать:

1) AD=DB

2) Если AD=DB, то D∈a

Доказываю:

Рассмотрим △BDO и △ADO

DO - общая

АО=ОВ

Значит ∠АОD=∠BOD=90°

△BDO=△ADO по второму признаку

Тогда AD=DB.

Докажем обратное:

Если АВ=AD, то D∈a

Рассмотрим △ADO и △ВDO

AD=BD

АО=ОВ

DO - общая

Значит △ADO=△ВDO по третьему признаку

Следовательно, ∠1=∠2

∠3=∠4

∠3 и ∠4 - смежные и равны, значит ∠3=∠4=90°

Значит DO⊥AB

И D∈a

ЧТД