Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды в 4 раза больше площади основания. Найди объём пирамиды, если её высота равна 3 м

Объем правильной четырехугольной пирамиды находится по формуле:

V = 1/3 * Sосн. * H.

В нашем случаи, учитывая, что высота пирамида = 3, получаем: V = Sосн.

Sосн. = a^2, где а - сторона квадрата. Значит V = a^2.

Нам известно, что Sбок. = 4 * Sосн.

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды находится по формуле:

Sбок. = 1/2 * 4 * a * h, где h - высота одного из треугольников боковой поверхности (апофема).

Получаем: 2 * a * h = 4 * a^2;

2 * a^2 - a * h = 0

a * (2 * a - h) = 0. (*)

Найдем h из прямоугольного треугольника, составленного из высоты пирамиды, апофемы и перпендикуляра, опущенного из центра основания пирамиды к одной из сторон (=1/2 * a).

Тогда получим по теореме Пифагора: h^2 = H^2 + (a/2) ^2.

Таким образом: h = корень (3^2 + (a/2) ^2).

Подставляем в наше уравнение (*) и находим a^2 = V:

a * (2 * a - корень (3^2 + (a/2) ^2)) = 0;

2 * a = корень (9 + (a^2) / 4);

4 * a^2 = 9 + (a^2) / 4;

16 * a^2 = 36 + a^2;

16 * a^2 - a^2 = 36;

15 * a^2 = 36;

a^2 = 36/15.

Таким образом:

V = a^2 = 36/15 = 2,4 м^3.

Ответ: V = 2,4 м^3.