В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник

1. Пусть a и b катеты треугольника, с - гипотенуза, а x - радиус вписанной окружности.

2. Так как расстояния от вершин до точек касания в прямоугольном треугольнике равны то:

a = 9 + x;

b = 16 + x;

c = 9 + 16 = 25;

3. По теореме Пифагора получаем:

a^2 + b^2 = c^2;

(9 + x) ^2 + (16 + x) ^2 = 25^2;

81 + 18 * x + x^2 + 256 + 32 * x + x^2 - 625 = 0;

2 * x^2 + 50 * x - 288 = 0;

x^2 + 25 * x - 144 = 0;

D = 25^2 - 4 * 1 * ( - 144) = 625 + 576 = 1201;

x1 = ( - 25 + √ 1201) / 2;

x2 = ( - 25 - √ 1201) / 2 < 0 - не имеет смысла;

4. Ответ: r = ( - 25 + √ 1201) / 2.