Радиус окружности описанный около правильного 8-ми угольника равен 2 см, найти радиус окружности вписанный в него

Как известно, радиус описанной окружности вокруг правильного многоугольника можно рассчитать по формуле:

R = a/2sin (180/n).

В то же время, радиус окружности, что вписана в правильный многоугольник возможно вычислить по формуле

r = a/2tg (180/n).

Тогда получаем:

а = R * 2sin (180/n);

r = R * 2sin (180/n) / 2tg (180/n);

r = R * 2sin (180/n) / 2 (sin (180/n) / cos (180/n));

r = R * cos (180/n).

Выясним, чему в таком случаем равен радиус:

2 * cos (180/8) = 2 * cos 22,5 = 2 * √ ((1 + cos 45) / 2) = 2√ ((2+√2) / 2 = √ (2+√2).

Ответ: √ (2+√2).