В прямоугольным треугольнике высота проведенная из вершины прямоуголного угла делит гипотенузу на две части 9 см и 36 см найти периметр треугольника

Пусть один из катетов равен х, другой равен у. Т. к. сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, можем записать:

x^2+y^2=45^2=2025.

Высота h, проведенная из прямого угла, делит данный треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых гипотенузы - катеты данного треугольника, один из катетов общий - это высота h, проведенная к гипотенузе данного треугольника, а вторые катеты - проекции катетов данного треугольника на гипотенузу, равные 9 см и 36 см.

Для каждого полученного треугольника можем записать:

h^2=x^2-9^2=x^2-81 и h^2=y^2-36^2=y^2-1296.

Поскольку h для этих треугольников - общая сторона, то x^2-81=y^2-1296, x^2-y^2=-1215.

Таким образом, имеем систему уравнений:

1) x^2+y^2=45^2=2025;

2) x^2-y^2=-1215.

Решая систему методом алгебраического сложения, получаем:

x^2+y^2+x^2-y^2=2025-1215;

2*x^2=810;

x^2=405;

x=√405=9√5.

Подставляя найденное значение х в любое из уравнений системы, получаем:

y^2=1620;

y=18√5.

Искомый периметр треугольника равен 9√5+18√5+9+36=27√5+45≈105,37 см.