Стороны треугольника относятся как 3:4:5. Периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен 16 см. Найдите стороны и площадь данного треугольника.

Стороны треугольника ∆А1 В1 С1, вершинами которого являются средины сторон данного треугольника ∆АВС, являются средними линиями данного треугольника. Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны, которая ей параллельна:

А1 В1 = АВ / 2;

В1 С1 = ВС / 2;

А1 С1 = АС / 2.

Так как стороны треугольника ∆АВС относятся как 3:4:5, то и стороны треугольника ∆А1 В1 С1 так же будут относится как 3:4:5. Так как периметр треугольника ∆А1 В1 С1 равен 16 см, то выразим это так:

3 х - сторона А1 В1;

4 х - сторона В1 С1;

5 х - сторона А1 С1;

3 х + 4 х + 5 х = 16;

12 х = 16;

х = 16/12 ≈ 1,3333;

А1 В1 = 3 · 1,3333 ≈ 3,9999 ≈ 4 см;

В1 С1 = 4 · 1,3333 = 5,3 см;

А1 С1 = 5 · 1,3333 = 6,7 см.

Для вычисления площади применим формулу Герона:

S = √p (p-a) (p-b) (p-c);

р = (a + b + c) / 2;

р = 16 / 2 = 8 см;

S = √8 · (8 - 4) · (8 - 5,3) · (8 - 6,7) = √8 · 4 · 2,7 · 1,3 = √112,32 ≈ 10,6 см².

Ответ: стороны треугольника ∆А1 В1 С1 равны 4 см, 5,3 см, 6,7 см, а его площадь 10,6 см².