Стороны треугольника 8 см, 10 см и 12 см. найдите периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Пусть в △ABC AB = 8 см, BC = 10 см, AC = 12 см. Точки M, N и К - середины сторон AB, BC и AC соответственно. Стороны △MNK (MN, NK, MK) являются средними линиями △ABC.

Средняя линия двух сторон треугольника равна половине третьей стороны треугольника:

MN = AC / 2 = 12/2 = 6 (см);

NK = AB / 2 = 8/2 = 4 (см);

MK = BC / 2 = 10/2 = 5 (см).

1. Периметр △MNK равен:

P = MN + NK + MK = 6 + 4 + 5 = 15 (см).

2. Площадь △MNK найдем по формуле Герона:

S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника, a, b и c - стороны треугольника.

Полупериметр:

p = P / 2 = 15/2 = 7, 5.

a = 6, b = 4, c = 5.

Найдем площадь △MNK:

S = √ (7, 5 * (7, 5 - 6) * (7, 5 - 4) * (7, 5 - 5)) = √ (7, 5 * 1, 5 * 3, 5 * 2, 5) = (переведем десятичные дроби в обыкновенные) = √ (75/10 * 15/10 * 35/10 * 25/10) = √ ((75 * 15 * 35 * 25) / (10 * 10 * 10 * 10)) = (√ (75 * 15 * 35 * 25)) / 100 = (15 √ 7) / 4 (см²).

Ответ: P = 15 см, S = (15 √ 7) / 4 см².