В треугольнике ABC угол с=90 AB=12 AC=5. Найдите синус и тангенс A

Дано: прямоугольный треугольник АВС;

угол С = 90;

AB = 12;

AC = 5.

Найти: sin A и tg А - ?

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.

По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АС^2 + ВС^2 = АВ^2;

5^2 + ВС^2 = 12^2;

25 + ВС^2 = 144;

ВС^2 = 144 - 25;

ВС^2 = 119;

ВС = √119;

2. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно:

sin A = ВС/АВ;

sin A = √119/12.

3. tg А = ВС/АС;

tg А = √119/5.

Ответ: sin A = √119/12; tg А = √119/5.

Будем решать данную задачу по следующей схеме:

найдем длину стороны ВС данного треугольника АВС; используя теорему синусов, найдем синус угла при вершине А данного треугольника АВС; используя известное тригонометрическое тождество sin² (α) + cos² (α) = 1, найдем косинус угла при вершине А данного треугольника; зная, чему равны синус и косинус угла при вершине А данного треугольника, найдем тангенс этого угла.

Решение задачи.

Находим длину стороны ВС данного треугольника АВС

Согласно условию задачи, величина угла с в данном треугольнике составляет 90°, длина стороны АВ равна 12, а длина стороны АС равна 5.

Следовательно, данный треугольник является прямоугольным с гипотенузой АВ, равной 12 и катетом АС, равным 5, и мы можем найти длину стороны ВС, используя теорему Пифагора:

|BC| = √ (|АВ|² - |АC|²) = √ (12² - 5²) = √ (144 - 25) = √119

Находим синус угла а данного треугольника АВС

Поскольку напротив угла а лежит сторона ВС данного треугольника, а напротив угла с лежит сторона АВ данного треугольника угла, то применяя теорему синусов, можем записать следующее соотношение:

|BC| / sin (a) = |AB| / sin (c).

Подставляя в данное соотношение значения |BC| = √119, |AB| = 5, c = 90°, получаем:

√119 / sin (a) = 5 / sin (90°).

Поскольку sin (90°) = 1, получаем:

sin (α) = 5/√119.

Находим косинус угла при вершине А данного треугольника

Подставляя в известное тригонометрическое тождество sin² (а) + cos² (а) = 1 значение sin (α) = 5/√119, получаем:

(5/√119) ² + cos² (а) = 1;

25/119 + cos² (а) = 1;

cos² (а) = 1 - 25/119;

cos² (а) = 119/119 - 25/119;

cos² (а) = 94/119.

Поскольку данный угол является острым и косинус острого угла положительный, можем записать:

cos (а) = √ (94/119).

Находим тангенс угла при вершине А данного треугольника

tg (α) = sin (а) / cos (а) = (5/√119) / (√94/√119) = (5/√119) * (√119/√94) = 5/√94.

Ответ: sin (α) = 5/√119, tg (α) = 5/√94.