Решить уравнение : lgх+lg (х-1) = lg (х во второй степени + 5 х+8) - lg2

Область определения:

x - 1 > 0;

x > 0;

x > 1.

Воспользуемся свойством сложения логарифмов с одинаковыми основаниями: lg (a) + lg (b) = lg (a * b). Получим:

lg (x * (x - 1)) = lg ((x^2 + 5x + 8) / 2);

lg (x^2 - x) = lg ((x^2 + 5x + 8) / 2).

Если равны логарифмы аргументов, то равны и сами аргументы:

x^2 - x = (x^2 + 5x + 8) / 2.

Приведем подобные:

1/2 * x^2 - 7/2 * x - 4 = 0;

x^2 - 7x - 8 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

D = (-7) ^2 - 4 * 1 * (-8) = 49 + 72 = 121;

x1 = (7 - 11) / (2 * 1) = - 4 / 2 = - 2;

x2 = (7 + 11) / (2 * 1) = 18 / 2 = 9.

Корень x1 = - 2 1, а значит, входит в область определения и является решением исходного уравнения.

Ответ: x = 9.