log1/2 (x^2+0,5x) <=1

Дано логарифмическое неравенство log_½ (x² + 0,5 * x) ≤ 1, однако, в задании отсутствует сопровождающее требование к этому неравенству. Прежде чем решить его, заметим, что оно имеет смысл, если x² + 0,5 * x > 0 или x * (х + 0,5) > 0, то есть, областью допустимых значений х, является множество (-∞; - 0,5) ∪ (0; + ∞). Используя определение логарифма, получим: 1 = log_½ (½). Данное неравенство перепишем в виде: log_½ (x² + 0,5 * x) ≤ log_½ (½). Обратимся к свойствам логарифмической функции: у = log_ах, где a > 0; а ≠ 1; x > 0: 1) при а > 1 функция у = log_ах возрастает, то есть, если a > 1, то log_аb > log_аc ⇔ b > c; 2) при 0 < a < 1 функция у = log_ах убывает, то есть, если 0 < a < 1, то log_аb > log_аc ⇔ b < c. Поскольку 0 < ½ < 1, то имеем: x² + 0,5 * x ≥ ½ или x² + 0,5 * x - 0,5 ≥ 0. Для того, чтобы решить последнее неравенство, сначала, решим квадратное уравнение x² + 0,5 * x - 0,5 = 0. Очевидно, что его дискриминант D = 0,5² - 4 * 1 * (-0,5) = 0,25 + 2 = 2,25 > 0. Имеем: х₁ = (-0,5 - √ (2,25)) / 2 = - 1 и х₂ = (-0,5 + √ (2,25)) / 2 = 0,5. Итак, получили неравенство: (х + 1) * (х - 0,5) ≥ 0. Последнее неравенство имеет решение: х ∈ (-∞; - 1] ∪ [0,5; + ∞). Очевидно, что это множество является подмножеством области допустимых значений х, при котором данное неравенство имеет смысл. Следовательно, решением данного неравенства является множество (-∞; - 1] ∪ [0,5; + ∞).

Ответ: х ∈ (-∞; - 1] ∪ [0,5; + ∞).