Докажите что выражение x^4-2x^2+2 принимает только положительные значения

Для того, чтобы доказать, что выражение x⁴ - 2x² + 2 принимает только положительные значения давайте выделим полный квадрат из заданного выражения.

Давайте представим число 2 в виде суммы двух чисел 1 + 1.

x⁴ - 2x² + 2 = x⁴ - 2x² + 1 + 1.

Теперь сгруппируем первые три слагаемых и проанализируем с помощью какой формулы мы можем представить данное выражение в виде квадрата многочлена.

x⁴ - 2x² + 1 + 1 = (x⁴ - 2x² + 1) + 1.

Вспомним формулу квадрат разности: (a - b) ² = a² - 2ab + b².

(x⁴ - 2x² + 1) + 1 = ((x²) ² - 2 * x² * 1 + 1²) + 1 = (x² - 1) ² + 1.

Полученное выражение будет принимать всегда положительное значение.