Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если разность между седьмым и третьим членами равна 8, произведение второго и седьмого члена равно 75, причем известно, что все члены прогрессии положительны.

1. Известны соотношения членов заданной арифметической прогрессии A (n);

A7 - A3 = 8;

(A1 + 6 * D) - (A1 + 2 * D) =

4 * D = 8;

2. Знаменатель прогрессии:

D = 8 / 4 = 2;

A2 * A7 = (A1 + D) * (A1 + 6 * D) =

(A1 + 2) * (A1 + 12) = A1² + 14 * A1 + 24 = 75;

A1² + 14 * A1 - 51 = 0;

A11,2 = - 7 + - sqrt ((-7) ² + 51) = - 7 + - 10;

Так как все члены прогрессии положительны;

3. Первый член прогрессии:

A1 = - 7 + 10 = 3;

4. Искомая сумма: S9 = (2 * A1 + D * (9-1)) * 9 / 2 =

(2 * 3 + 2 * 8) * 9 / 2 = 99.

Ответ: сумма девяти членов прогрессии равна 99.