В треугольнике с вершинами A (4; -14; 8), В (2; -18; 12), С (12; -8; 12). найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ

Найдем длины сторон треугольника:

a = |AB| = √ (2^2 + 4^2 + (-4) ^2) = √36 = 6

b = |BC| = √ (10^2 + (-10) ^2 + 0) = 10 * √2

c = |AC| = √ ((-8) ^2 + (-6) ^2 + (-4) ^2) = √116 = 2 √29

Обозначим точку пересечения высоты со стороной |AB| через M

Тогда по теореме Пифагора:

СМ^2 + AM^2 = AC^2

CM^2 + MB^2 = CB^2

Обозначим высоту CM через h, |AM| через x. Получим систему уравнений:

x^2 + h^2 = (2√29) ^2

h^2 + (x - 6) ^2 = (10√2) ^2

x = √116 - h^2

Подставим во - ое:

h^2 + (√ (116 - h^2)) ^2 = 116

h = 8√2

Ответ: высота 8√2.