Как найти производную функции? x^2+4y^3=4x

Решим двумя способами.

1. Первый способ. Выразим y через x и найдем производную функции:

x^2 + 4y^3 = 4x; 4y^3 = 4x - x^2; y^3 = x - x^2/4; y = (x - x^2/4) ^ (1/3); y' = 1/3 * (x - x^2/4) ^ (1/3 - 1) * (x - x^2/4) '; y' = 1/3 * (x - x^2/4) ^ (-2/3) * (1 - x/2); y' = 1/6 * (x - x^2/4) ^ (-2/3) * (2 - x).

2. Второй способ. Продифференцируем уравнение:

x^2 + 4y^3 = 4x; 2xdx + 12y^2dy = 4dx; 12y^2dy = 4dx - 2xdx; 6y^2dy = 2dx - xdx; 6y^2dy = (2 - x) dx; dy/dx = (2 - x) / 6y^2; y' (x) = (2 - x) / 6y^2. y = (x - x^2/4) ^ (1/3); y' (x) = (2 - x) / 6 * (x - x^2/4) ^ (-2/3).

Ответ: y' (x) = 1/6 * (2 - x) * (x - x^2/4) ^ (-2/3).