Найдите значение выражения log 8b^2 по основанию 4, если log b по основанию 4 = - 4.2

Найти log₄8b², если log₄b = - 4,2.

Свойства логарифма для решения задания log_a (x * y) = log_ax + log_ay; log_a (x : y) = log_ax - log_ay; log_axⁿ = n * log_ax; log_aa = 1; log_aⁿX = 1/n * log_ax. Преобразуем выражение

log₄8b²

1. Представим 8b² как произведение 8 и b², тогда логарифм можно представить в виде суммы логарифмов.

log_{4 (}8*b²) = log₄8 + log₄b²

2. Представим 8 как произведение 2 и 4, тогда логарифм log₄8 можно представить в виде суммы логарифмов.

log₄8 = log₄2 + log₄4

log₄4 = 1

Представим основание логарифма 4 как 2², тогда ее можно вынести перед логарифмов в минус первой степени.

log₄2 = log_2²2 = 1/2 * log₂2 = 1/2 * 1 = 1/2

Получается, что log₄8 = 1 + 1/2 = 1,5

3) Вынесем вторую степень b перед логарифмом.

log₄b² = 2 * log₄b

Представим основание логарифма 4 как 2², тогда ее можно вынести перед логарифмов в минус первой степени.

log₄b² = 2 * log₄b = 2 * log_2²2 = 2 * 1/2 * log₂b = log₂b

4) Значит, выражение log_{4 (}8*b²) = 1,5 + log₂b.

5) Подставим значение log₄b = - 4,2.

1,5 + ( - 4,2) = - 2,7

Ответ: - 2,7.

log 4 (b) = - 4,2;

log 4 (8b^2) = log 4 (8) + log 4 (b^2) = log 2^2 (2^3) + 2log 4 (b) = 3/2 * log 2 (2) + 2 * (-4,2) = 3/2 - 8,4 = 1,5 - 8,4 = - 6,9.

Пояснение: Необходимо преобразовать выражение, значение которого нужно найти, так, чтобы из него получилось выражение, значение которого нам известно, для этого используем свойства логарифмов.