Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, у которой b2=4, b3=2

Дано: b_n - геометрическая прогрессия;

b₂ = 4, b₃ = 2;

Найти: S₅ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^ (n - 1),

где b₁ - первый член геометрической прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов прогрессии.

С помощью этой формулы выразим второй, третий и пятый члены заданной геометрической прогрессии:

b₂ = b₁ * q^ (2 - 1) = b₁ * q; (1)

b₃ = b₁ * q^ (3 - 1) = b₁ * q^2; (2)

b₅ = b₁ * q^ (5 - 1) = b₁ * q^4.

Из (1) и (2) выражений составим систему уравнений:

b₁ * q = 4, (1)

b₁ * q^2 = 2 (2)

Теперь, из (1) уравнения полученной системы выразим b₁:

b₁ = 4 : q.

Подставим это выражение во (2) уравнение системы:

4 : q * q^2 = 2;

4q = 2;

q = 0,5.

Полученное значение q подставим в b₁ = 4 : q, получим b₁ = 20.

Далее вычисляем пятый член: b₅ = b₁ * q^4 = 20 * 0,5^4 = 1,25.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = b_n * q - b₁ / (q - 1);

Т. о., подставив известные значения, получим:

S₅ = b₅ * q - b₁ / (q - 1) = 1,25 * 0,5 - 20 / (0,5 - 1) = - 19,375 / (-0,5) = 38,75.

Ответ: S₅ = 38,75.