Задача 1. Из пункта А в пункт B, расстояния между которыми 360 км, выехали одновременно два автомобиля, Через 3 ч оказалось, что первый из них прошел на 30 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.

Если первый автомобиль за 3 часа прошел на 30 километров больше второго, то за каждый час он проходил на 30 : 3 = 10 километров больше. Это значит, что скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго.

Пусть скорость второго автомобиля х км/ч, тогда скорость первого автомобиля (х + 10) км/ч. Расстояние в 360 километров первый автомобиль проехал за 360 / (х + 10) часов, а второй - за 360/х часов. По условию задачи известно, что первый автомобиль находился в пути меньше второго на (360/х - 360 / (х + 10)) часов или на 1/2 часа. Составим уравнение и решим его.

360/x - 360 / (x + 10) = 1/2;

(360 * 2 (x + 10) - 2x * 360) / (2x (x + 10)) = (x (x + 10)) / (2x (x + 10));

О. Д. З. х ≠ 0; x ≠ - 10;

360 * 2 (x + 10) - 2x * 360 = x (x + 10);

720x + 7200 - 720x = x^2 + 10x;

x^2 + 10x - 7200 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 10^2 - 4 * 1 * (-7200) = 100 + 28800 = 28900; √D = 170;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (-10 + 170) / 2 = 160/2 = 80 (км/ч) - скорость второго;

x2 = (-10 - 170) / 2 = - 180/2 = - 90 - скорость не может быть отрицательной;

x + 10 = 80 + 10 = 90 (км/ч) - скорость первого.

Ответ. 90 км/ч; 80 км/ч.