При каких значениях параметра m один из корней уравнения 4x^ - (3+2m) x+2=0 в восемь раз меньше другого?

Пусть меньший из корней данного уравнения равен х1.

Так как один из корней данного уравнения в 8 раз больше другого, то второй корень этого уравнения должен быть равным 8 х1.

Используя теорему Виета, можем составить следующее уравнение:

х1 * 8 х1 = 2,

решая которое, получаем:

8 х1^2 = 2;

х1^2 = 2 / 8;

х1^2 = 1/4;

х1_1 = 1/2;

х1+2 = - 1/2.

Снова используя теорему Виета, получаем уравнение для m:

при х1 = 1/2:

3 + 2m = 1/2 + 8 * 1/2;

3 + 2m = 1/2 + 4;

3 + 2m = 4.5;

2m = 4.5 - 3;

2m = 1.5;

m = 0.75.

при х1 = - 1/2:

3 + 2m = - 1/2 + (-8 * 1/2);

3 + 2m = - 1/2 - 4;

3 + 2m = - 4.5;

2m = - 4.5 - 3;

2m = - 7.5;

m = - 3.75.

Ответ: при m = 0.75 и m = - 3.75.