Y=-x^3 + 3x^2 + 4 На отрезке [ - 3; 4]

Определим производную функции F (X) = - X³ + 3 * X² + 4.

F' (X) = - 3 * Х² + 6 * Х.

Приравняем производную к нулю и определим критические точки.

-3 * Х² + 6 * Х = 0.

-3 * Х * (Х - 2) = 0.

Х₁ = 0.

Х₂ = 2.

Оба корня лежат на отрезке [ - 3; 4].

Определим знаки производной при Х равному - 1; 1; 3.

F' (-1) = - 3 - 6 = - 9.

F' (1) = - 3 * 1 + 6 * 1 = 3.

F' (2) = - 3 * 9 + 6 * 3 = - 9.

В точке Х = 0 производная меняет знак с "-" на "+" - точка Х = 0 точка минимума, а функция на промежутке от (-∞; 0) убывает.

В точке Х = 2 производная меняет знак с "+" на "-" - точка Х = 2 точка максимума, а функция на промежутке от (0; 2) возрастает.

На промежутке от (2; + ∞) функция убывает.

Тогда Уmin = У (0) = 0 + 0 + 4 = 4.

Уmax = У (2) = - 8 + 3 * 4 + 4 = 8.

Проверим У (4) = - 64 + 3 * 16 + 4 = - 12.

Тогда Уmin = У (4) = - 12

Ответ: Уmin = У (4) = - 12, Уmax = У (2) = 8.