An - арифметическая прогрессия. а₃ + а₅ + а₇ = 60. а₅ * а₆ = 30. Найти S_15.

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия;

a₃ + a₅ + а₇ = 60; а₅ * а₆ = 30;

Найти: S₁₅ - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n - 1), где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - количество её членов.

С помощью этой формулы представим a₃; a₅; а₆; а₇; а₁₅ члены заданной прогрессии:

a₃ = a₁ + d (3 - 1) = a₁ + 2d;

a₅ = a₁ + d (5 - 1) = a₁ + 4d;

a₆ = a₁ + d (6 - 1) = a₁ + 5d;

a₇ = a₁ + d (7 - 1) = a₁ + 6d;

a₁₅ = a₁ + d (15 - 1) = a₁ + 14d.

Т. о. имеем:

a₁ + 2d + a₁ + 4d + a₁ + 6d = 60 и (a₁ + 4d) * (a₁ + 5d) = 30.

3a₁ + 12d = 60; (a₁) ^2 + 20d^2 + 9a₁d = 30;

a₁ + 4d = 20;

Из полученных выражений составим систему уравнений:

a₁ + 4d = 20, (1)

(a₁) ^2 + 20d^2 + 9a₁d = 30 (2)

Из (1) уравнения выразим a₁:

a₁ = 20 - 4d.

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

(20 - 4d) ^2 + 20d^2 + 9d * (20 - 4d) = 30;

400 - 160d + 16 d^2 + 20d^2 + 180d - 36d^2 = 30;

20d = - 370;

d = - 18,5.

Полученное значение разности прогрессии d подставим в выражение для нахождения a₁:

a₁ = 20 - 4 * (-18,5) = 94.

Найденные значения a₁ и d подставляем в формулу пятнадцатого члена прогрессии:

a₁₅ = 94 + 14 * (-18,5) = - 165.

Сумма n членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = ((a₁ + a_n) / 2) * n, значит,

S₁₅ = ((a₁ + a₁₅) / 2) * 15 = ((94 + (-165)) / 2) * 15 = - 532,5.

Ответ: S₁₅ = - 532,5.