В треугольнике ABC AC = 4√2 cм, угол С = 45º, угол А = 30º. Найти сторону ВС. (теорема синусов)

Теорема синусов гласит, что все стороны треугольника пропорциональны противоположным углам.

Таким образом, получаем следующее соотношение: АС/sin В = ВС/sin А = АВ / sin С.

Сначала вычислим угол В.

По формуле суммы всех углов треугольника имеем: А + В + С = 180⁰.

В = 180⁰ - А - С.

В = 180⁰ - 30⁰ - 45⁰.

В = 105⁰.

Теперь найдем сторону ВС по формуле АС/sin В = ВС/sin А.

ВС = АС * sin А / sin В.

ВС = 4√2 см * sin 30⁰ / sin 105⁰.

sin 30⁰ = ½.

sin 105⁰ представим как синус суммы двух углов.

sin (60⁰ + 45⁰) = sin 60⁰ * cos 45⁰ + sin 45⁰ * cos 60⁰ = √3/2 * √2/2 + √2/2 * 1/2 = √6/4 + √2/4.

Теперь подставим полученные значения.

ВС = 4√2 см * 1/2 / (√6/4 + √2/4).

ВС = 2√2 см * (√6/4 + √2/4).

Раскроем скобки и упростим.

ВС = 2√2 * √6/4 + 2√2 * √2/4.

ВС = √12 / 2 + √4 см / 2.

ВС = 2√3 / 2 + 2 см / 2.

ВС = √3 + 1.

Ответ: ВС = (√3 + 1) см.