Разложите на множители (x+1) (x+3) (x+5) (x+7) + 15

Обозначим через y = x + 2 и z = x + 6. Подставим обозначения в данное выражение:

(x + 1) * (x + 3) * (x + 5) * (x + 7) + 15 =

= (y - 1) * (y + 1) * (z - 1) * (z + 1) + 15 =

= (y^2 - 1) * (z^2 - 1) + 15 =

= y^2 * z^2 - y^2 - z^2 + 16.

Заметим, что для наших подстановкой верно:

z - y = (x + 6) - (x + 2) = 4,

(z - y) ^2 = 16,

z^2 + y^2 - 2 * z * y = 16,

z^2 + y^2 = 16 + 2 * z * y.

Следовательно,

y^2 * z^2 - y^2 - z^2 + 16 = y^2 * z^2 - 16 - 2 * y * z + 16 =

= y^2 * z^2 - 2 * y * z = y * z * (y * z - 2) =

= (x + 2) * (x + 6) * ((x + 2) * (x + 6) - 2) =

= (x + 2) * (x + 6) * (x^2 + 8 * x + 10) =

= (x + 2) * (x + 6) * (x - (-4 - √6)) * (x - (-4 + √6)) =

= (x + 2) * (x + 6) * (x + 4 + √6) * (x + 4 - √6).