При каких значениях параметра "а" уравнение имеет один действительный корень2^ (-2 (x+1)) - (1/2) ^ (x-2) = 4a

1. Приведем уравнение к каноническому виду:

2^ (-2 (x + 1)) - (1/2) ^ (x - 2) = 4a;

2^ (-2 (x + 1)) - 2^ (-x + 2) = 4a;

2^ (-2 (x + 1)) - 2^ ( - (x + 1) + 3) = 4a;

2^ (-2 (x + 1)) - 8 * 2^ ( - (x + 1)) - 4a = 0. (1)

2. Обозначим:

2^ ( - (x + 1)) = z. (2)

Уравнение (2):

при z ≤ 0 - не имеет корней; при z > 0 - имеет один корень.

3. Подставим значение выражения в уравнение (1):

z^2 - 8z - 4a = 0;

D/4 = 4^2 + 4a = 16 + 4a = 4 (a + 4);

a) при a < - 4 уравнение не имеет корней;

b) при a = - 4 уравнение имеет один положительный корень:

z = 4;

c) при a > - 4 уравнение имеет два корня:

z = 4 ± √ (D/4) = 4 ± √ (4 (a + 4)) = 4 ± 2√ (a + 4).

Больший корень всегда положительный, меньший же - меньше или равен нулю при условии:

4 - 2√ (a + 4) ≤ 0;

√ (a + 4) ≥ 2;

a + 4 ≥ 4;

a ≥ 0;

a ∈ [0; ∞).

Ответ: {-4} ∪ [0; ∞).